情境
你發現塗布厚度跟塗料黏度、塗布速度、溫度都有關係。主管問：「如果我把速度從 10 調到 12，厚度會怎麼變？」你只做了簡單相關分析，無法同時考慮三個因子，答不上來。
這就是多元迴歸要解決的問題。
簡單迴歸 vs 多元迴歸
簡單線性迴歸： Y = a + b × X
只考慮一個輸入變數。
多元線性迴歸： Y = a + b₁X₁ + b₂X₂ + b₃X₃ + ...
同時考慮多個輸入變數，每個因子有自己的係數（影響程度）。
關鍵指標解讀
R²（決定係數）
- 範圍 0-1，代表模型解釋了多少變異
- R² = 0.85：模型解釋 85% 的數據變化
- 一般製造業 R² > 0.7 才有實用價值
Adjusted R²
- 加入更多因子，R² 一定會上升（即使那個因子沒用）
- Adjusted R² 會懲罰無用因子，比 R² 更可靠
P 值（各因子）
- P < 0.05：這個因子對 Y 有顯著影響
- P > 0.05：這個因子的影響可能只是隨機，考慮從模型移除
VIF（方差膨脹因子）
- 偵測多重共線性（兩個輸入因子高度相關）
- VIF > 10：有嚴重共線性問題，模型係數不可信
實戰步驟
Step 1：確認各因子和 Y 的散佈圖
- 看是否有線性關係
- 找出明顯的異常值
Step 2：建立初始模型（放入所有可能因子）
Step 3：用 P 值篩選
- 移除 P > 0.05 的因子
- 重新建模，重複到所有因子都顯著
Step 4：確認模型假設
- 殘差圖：應隨機分布，不能有型態
- 常態機率圖：殘差應在直線上
- 殘差 vs 預測值：應無型態
Step 5：用模型預測
- 代入新的 X 值，得到 Y 的預測值和信賴區間
常見陷阱
| 陷阱 | 說明 | 解法 |
|---|---|---|
| 外插預測 | 預測超出原始數據範圍 | 只在數據範圍內預測 |
| 共線性 | X1 和 X2 高度相關 | 只留一個或用 PCA |
| 過度擬合 | 因子太多，對新數據預測差 | 用 Adjusted R² 控制 |
| 忽略交互作用 | A 和 B 共同影響 Y | 加入 A×B 交互項 |
金句
「迴歸方程式不是真理，是在你的數據範圍內最好的近似——出了這個範圍，請謙虛。」