情境或問題起源
在瞬息萬變的製造現場，我們經常面臨這樣的挑戰：關鍵製程參數，例如化學反應的濃度、精密加工的尺寸公差，或是塗層厚度，往往會發生微小且緩慢的偏移。這些偏移單一來看或許不明顯，仍在管制界限內，但若長期累積，卻可能導致良率緩慢下降、產品性能不穩，甚至最終造成一批報廢。
舉例來說，某條生產線上，CNC 機台的刀具磨損是一個漸進的過程。每次加工，尺寸都會微幅增加0.001mm，而此變異仍在傳統 Shewhart 管制圖的管制界限內。如果我們僅依賴 Shewhart 圖，可能要等到偏差累積到0.03mm，觸及管制上限時，才警覺到問題。然而，此時可能已經生產了數百件不符規格或邊緣品質的產品。又或者，在半導體製程中，某個化學浴的成分濃度因耗損而緩慢下降，但每次測量值仍在目標區間內，卻可能導致後續薄膜沉積不均。這些「溫水煮青蛙」式的製程漂移，是傳統 Shewhart 管制圖較難即時察覺的盲點，因為 Shewhart 圖只關注當前點是否異常，缺乏對過去數據趨勢的記憶。
核心概念與原理
CUSUM (Cumulative Sum) 管制圖，中文稱作「累積和管制圖」，正是為了解決這類微小但持續性的製程偏移而設計。其核心原理是透過「累積」每個樣本值與目標值之間的差異，將這些微小的偏差放大，使其更容易被偵測出來。
相較於 Shewhart 管制圖，CUSUM 具有「記憶性」。它不只看單一數據點，而是將連續的數據點偏差累積起來。即使單一數據點的偏差很小，一旦製程開始出現持續性的微小偏移，這些小偏差的累積和就會迅速增加，最終超出預設的管制界限，從而發出警訊。
CUSUM 管制圖通常會同時監控向上及向下的偏移，因此會計算兩個累積和：
$C_t^+ = \max(0, C_{t-1}^+ + X_t - \mu_0 - K)$
其中，$C_0^+ = 0$。
$C_t^- = \max(0, C_{t-1}^- - (X_t - \mu_0) - K)$
其中，$C_0^- = 0$。
各參數解釋如下：
* $X_t$: 第 $t$ 個樣本的觀測值。
* $\mu_0$: 製程在受控狀態下的目標平均值。
* $K$: 參考值 (reference value) 或稱為「鬆弛量」(slack value)。它代表了我們願意容忍的、不被累積的微小偏移量。通常設定為欲偵測的最小偏移量的一半，以標準差 $\sigma$ 為單位，例如 $K = 0.5 \sigma$。如果 $X_t - \mu_0$ 的絕對值小於 $K$，則其對累積和的貢獻會被部分抵銷，避免正常波動被誤判。
* $H$: 決策區間 (decision interval) 或稱為管制界限。當 $C_t^+$ 或 $C_t^-$ 超過 $H$ 時，即表示製程可能發生偏移。 $H$ 值通常設定為 $4 \sigma$ 或 $5 \sigma$，其大小會影響管制圖的平均執行長度 (Average Run Length, ARL)。
當 $C_t^+$ 或 $C_t^-$