分析工具
CUSUM 累積和管制圖
Cumulative Sum Control Chart
CUSUM 公式
C⁺ᵢ = max(0, C⁺ᵢ₋₁ + xᵢ − μ₀ − K)
C⁻ᵢ = max(0, C⁻ᵢ₋₁ + μ₀ − K − xᵢ)
K = k·σ，H = h·σ
當 C⁺ > H 或 C⁻ > H 時，製程失控。
對均值偏移 0.5σ～1.5σ 的偵測能力遠優於 Shewhart 管制圖。
資料點數
20
目標值 μ₀
11.570
參數 k
0.5
信號數
0
CUSUM 走勢圖
詳細數值表
| 序號 | 觀測值 | C⁺ | C⁻ | 狀態 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 10.200 | 0.0000 | 0.7811 | 正常 |
| 2 | 9.800 | 0.0000 | 1.9621 | 正常 |
| 3 | 10.100 | 0.0000 | 2.8431 | 正常 |
| 4 | 10.300 | 0.0000 | 3.5242 | 正常 |
| 5 | 9.900 | 0.0000 | 4.6052 | 正常 |
| 6 | 10.400 | 0.0000 | 5.1863 | 正常 |
| 7 | 10.700 | 0.0000 | 5.4673 | 正常 |
| 8 | 11.100 | 0.0000 | 5.3484 | 正常 |
| 9 | 11.400 | 0.0000 | 4.9294 | 正常 |
| 10 | 11.800 | 0.0000 | 4.1105 | 正常 |
| 11 | 12.000 | 0.0000 | 3.0915 | 正常 |
| 12 | 12.300 | 0.1411 | 1.7726 | 正常 |
| 13 | 12.100 | 0.0821 | 0.6536 | 正常 |
| 14 | 11.900 | 0.0000 | 0.0000 | 正常 |
| 15 | 12.400 | 0.2411 | 0.0000 | 正常 |
| 16 | 12.600 | 0.6821 | 0.0000 | 正常 |
| 17 | 12.900 | 1.4231 | 0.0000 | 正常 |
| 18 | 13.100 | 2.3642 | 0.0000 | 正常 |
| 19 | 13.400 | 3.6052 | 0.0000 | 正常 |
| 20 | 13.000 | 4.4463 | 0.0000 | 正常 |
使用情境
CUSUM 管制圖對製程平均值的小幅持續偏移特別靈敏，適用於精密加工（半導體、航太零件）中 0.5σ~1.5σ 的微小漂移偵測，比傳統 Shewhart 管制圖更早發出警報，減少超規品數量。 化工連續製程中，製程參數（如濃度、pH 值）常有緩慢的時間趨勢，CUSUM 能在趨勢發展初期就觸發調查，避免大批次產品報廢。
計算範例
設定目標值 μ₀ = 10.0，K = 0.5（偵測 1σ 偏移），H = 5 前 10 個點正常，從第 11 點起平均值升至 10.3（+0.3 = 0.95σ 偏移）： S+₁₀ = 0（初始） S+₁₁ = max(0, 0 + (10.3-10.0) - 0.5) = max(0, -0.2) = 0 → 繼續累積：第 15 點 S+ = 1.2，第 18 點 S+ = 3.5，第 21 點 S+ = 5.2 > H=5 → CUSUM 在第 21 點觸發警報 → 比 Shewhart 圖早 4-6 個點偵測到偏移
延伸閱讀：CUSUM 和 EWMA 管制圖：偵測微小偏移的利器
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